Logika Matematika

1.1.1 Uraian dan Contoh
Logika proposisi(kalkulus proposisi) menelaah manipulasi antar proposisi. Logika predikat(kalkulus
predikat) menelaah manipulasi antar predikat. Oleh karena itu sebelum melangkah lebih
jauh, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian proposisi dan pengertian predikat.
¤ Definisi 1.1.1: (Proposisi)
Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki
tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S)
CONTOH 1.1.1 : Beberapa contoh proposisi dan bukan proposisi:
1. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia.
2. 7 merupakan sebuah bilangan prima.
3. Manusia adalah salah satu jenis makluk di Bumi.
4. Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tennes.
5. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.
6. Mudah-mudahan anda berhasil dalam meniti karier.
7. Berolahragalah secara teratur!
§
Kalimat
Kalimat deklaratif pertama, kedua dan ketiga dalam contoh 1.1.1 tidak memuat penghubung
disebut proposisi primitip(primitif ), dan dilambangkan dengan huruf kecil: p, q, r, s. Kalimat
deklaratif keempat dan kelima memuat penghubung ”atau” dan ”jika...maka...” disebut
proposisi majemuk(composite). Kalimat keenam dan ketujuh bukan proposisi.
¤ Penghubung atau konektif(connective)
Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 penghubung, yaitu:
1. Negasi(Negation)
2. Konjungsi(Conjunction)
3. Disjungsi(Disjunction)
4. Implikasi(Implication)
5. Ekuivalensi(Equivalence)
¤ Definisi 1.1.2: (Penghubung)
Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Negasi:
Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B=S, maka negasinya
ditulis sebagai, p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S=B.
2. Konjungsi:
Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, p
V
q, adalah sebuah proposisi yang bernilai
benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.
3. Disjungsi:
Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p
W
q, adalah proposisi yang bernilai salah jika
proposisi p dan q keduanya bernilai salah.
4. Implikasi (proposisi bersyarat):
Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p ! q, ialah proposisi yang bernilai salah
jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.
Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa) dan proposisi q disebut konsekuen(konklusi/kesimpulan)
5. Ekuivalensi/Biimplikasi:
Ekivalensi dari p dan q dinyatakan dengan, p $ q, adalah proposisi yang bernilai
benar jika proposisi p dan q mempunyai nilai kebenaran sama.
CONTOH 1.1.2 : (Beberapa contoh proposisi majemuk)
Misalkan p, q dan r adalah proposisi, dimana:
p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan. (B)
q : Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B)
r : 1 + 1 = 3. (S)
Maka:
1. p : Bumi bukan satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan. (S)
2. q
V
r : Satu dekade sama dengan 10 tahun dan 1 + 1 = 3. (S)
3. q
W
r : Satu dekade sama dengan 10 tahun atau 1 + 1 = 3. (B)
4. q ! r : Jika satu dekade sama dengan 10 tahun maka 1 + 1 = 3. (S)
5. q $ r : Satu dekade sama dengan 10 tahun jika dan hanya jika 1 + 1 = 3. (S)
¤ Tabel kebenaran (Truth table)
Untuk mengevaluasi apakah sebuah proposisi majemuk benar atau salah kita perlu tabel
kebenaran dari konektif yang ada dalam proposisi tersebut. Untuk sembarang proposisi p
dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua konektif dapat dilihat pada Tabel 1.1.1.
Tabel 1.1.1: Tabel kebenaran konektif
p q p p
V
q p
W
q p ! q p $ q
— — — — — — —
B B S B B B B
B S S S B S S
S B B S B B S
S S B S S B B
Logika proposisi tidak bisa menggambarkan sebagian besar proposisi dalam matematika
dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi, perhatikan pernyataan berikut:
p : n adalah bilangan ganjil.
Pernyataan p bukan sebuah proposisi karena nilai kebenaran p bergantung pada nilai kebenaran
n. Sebagai contoh, p benar jika n=103 dan salah jika n=8. Karena kebanyakan
pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer menggunakan peubah(variabel), maka
kita harus mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan tersebut.
¤ Definisi 1.1.3: (Fungsi proposisi/Predikat)
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah
sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di
D, P(x) adalah proposisi. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse)
dari P.
CONTOH 1.1.4 : Berikut ini beberapa contoh fungsi proposisi:
1. n2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat.
2. x2 ¡ x ¡ 6 = 0, dengan daerah asal himpunan bilangan real.
3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 pada tahun 1974, dengan daerah
asal himpunan pemain bisbol.
Sebuah predikat seringkali menyatakan sebuah hubungan relasional antara: konstanta,
variabel dan fungsi.
Simbol-simbol yang digunakan dalam logika predikat:
1. Simbol konstanta : a, b, c, d.
2. Simbol variabel : x, y, z, w.
3. Simbol fungsi : f, g, h.
4. Simbol predikat : P, Q, R, S.