Logika Matematika

1.1.1 Uraian dan Contoh
Logika proposisi(kalkulus proposisi) menelaah manipulasi antar proposisi. Logika predikat(kalkulus
predikat) menelaah manipulasi antar predikat. Oleh karena itu sebelum melangkah lebih
jauh, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian proposisi dan pengertian predikat.
¤ Definisi 1.1.1: (Proposisi)
Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki
tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S)
CONTOH 1.1.1 : Beberapa contoh proposisi dan bukan proposisi:
1. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia.
2. 7 merupakan sebuah bilangan prima.
3. Manusia adalah salah satu jenis makluk di Bumi.
4. Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tennes.
5. Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.
6. Mudah-mudahan anda berhasil dalam meniti karier.
7. Berolahragalah secara teratur!
§
Kalimat
Kalimat deklaratif pertama, kedua dan ketiga dalam contoh 1.1.1 tidak memuat penghubung
disebut proposisi primitip(primitif ), dan dilambangkan dengan huruf kecil: p, q, r, s. Kalimat
deklaratif keempat dan kelima memuat penghubung ”atau” dan ”jika...maka...” disebut
proposisi majemuk(composite). Kalimat keenam dan ketujuh bukan proposisi.
¤ Penghubung atau konektif(connective)
Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 penghubung, yaitu:
1. Negasi(Negation)
2. Konjungsi(Conjunction)
3. Disjungsi(Disjunction)
4. Implikasi(Implication)
5. Ekuivalensi(Equivalence)
¤ Definisi 1.1.2: (Penghubung)
Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Negasi:
Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B=S, maka negasinya
ditulis sebagai, p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S=B.
2. Konjungsi:
Konjungsi p dan q dinyatakan dengan, p
V
q, adalah sebuah proposisi yang bernilai
benar jika proposisi p dan q keduanya bernilai benar.
3. Disjungsi:
Disjungsi p dan q dinyatakan dengan, p
W
q, adalah proposisi yang bernilai salah jika
proposisi p dan q keduanya bernilai salah.
4. Implikasi (proposisi bersyarat):
Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p ! q, ialah proposisi yang bernilai salah
jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.
Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa) dan proposisi q disebut konsekuen(konklusi/kesimpulan)
5. Ekuivalensi/Biimplikasi:
Ekivalensi dari p dan q dinyatakan dengan, p $ q, adalah proposisi yang bernilai
benar jika proposisi p dan q mempunyai nilai kebenaran sama.
CONTOH 1.1.2 : (Beberapa contoh proposisi majemuk)
Misalkan p, q dan r adalah proposisi, dimana:
p : Bumi adalah satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan. (B)
q : Satu dekade sama dengan 10 tahun. (B)
r : 1 + 1 = 3. (S)
Maka:
1. p : Bumi bukan satu-satunya planet di jagat raya yang mempunyai kehidupan. (S)
2. q
V
r : Satu dekade sama dengan 10 tahun dan 1 + 1 = 3. (S)
3. q
W
r : Satu dekade sama dengan 10 tahun atau 1 + 1 = 3. (B)
4. q ! r : Jika satu dekade sama dengan 10 tahun maka 1 + 1 = 3. (S)
5. q $ r : Satu dekade sama dengan 10 tahun jika dan hanya jika 1 + 1 = 3. (S)
¤ Tabel kebenaran (Truth table)
Untuk mengevaluasi apakah sebuah proposisi majemuk benar atau salah kita perlu tabel
kebenaran dari konektif yang ada dalam proposisi tersebut. Untuk sembarang proposisi p
dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua konektif dapat dilihat pada Tabel 1.1.1.
Tabel 1.1.1: Tabel kebenaran konektif
p q p p
V
q p
W
q p ! q p $ q
— — — — — — —
B B S B B B B
B S S S B S S
S B B S B B S
S S B S S B B
Logika proposisi tidak bisa menggambarkan sebagian besar proposisi dalam matematika
dan ilmu komputer. Sebagai ilustrasi, perhatikan pernyataan berikut:
p : n adalah bilangan ganjil.
Pernyataan p bukan sebuah proposisi karena nilai kebenaran p bergantung pada nilai kebenaran
n. Sebagai contoh, p benar jika n=103 dan salah jika n=8. Karena kebanyakan
pernyataan dalam matematika dan ilmu komputer menggunakan peubah(variabel), maka
kita harus mengembangkan sistem logika yang mencakup pernyataan tersebut.
¤ Definisi 1.1.3: (Fungsi proposisi/Predikat)
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah
sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di
D, P(x) adalah proposisi. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse)
dari P.
CONTOH 1.1.4 : Berikut ini beberapa contoh fungsi proposisi:
1. n2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat.
2. x2 ¡ x ¡ 6 = 0, dengan daerah asal himpunan bilangan real.
3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 pada tahun 1974, dengan daerah
asal himpunan pemain bisbol.
Sebuah predikat seringkali menyatakan sebuah hubungan relasional antara: konstanta,
variabel dan fungsi.
Simbol-simbol yang digunakan dalam logika predikat:
1. Simbol konstanta : a, b, c, d.
2. Simbol variabel : x, y, z, w.
3. Simbol fungsi : f, g, h.
4. Simbol predikat : P, Q, R, S.

Logika Matematika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa. dalam pembelajaran logika matematika dipelajari tentang: 1. pernyataan (kalimat tertutup) adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja tidak sekaligus bernilai benar dan salah dan kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya ( benar atau salah). 2. pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memuat ukuran kuantitas dan jumlah seperti semua, setiap, tanpa kecuali, ada, beberapa dan sebagainya. 3. pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung logika, seperti dan, atau, jika ....maka...., ....jika dan hanya jika.... a. konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan kata " dan" dengan simbul ^ . nilai kebenaran p ^ q ditentukan sebagai berikut: - p ^ q benar jika p benar dan q benar - p ^ q salah, jika salah satu salah atau jika dua - duanya salah b. disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan kata " atau" dengan simbul v . nilai kebenaran p v q ditentukan sebagai berikut: - p v q benar jika p benar dan q benar atau salah satunya benar - p v q salah, jika dua - duanya salah c. implikasi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan kata " jika .... maka...." dengan simbul "panah satu arah kiri . d. bimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan kata " ...jika dan hanya jika...." dengan simbul "panah dua arah kiri .

Sejarah Matematika

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά – mathēmatiká) secara umum ditentukan sebagai kajian pola dari struktur, perubahan, dan ruang; tak resminya, seseorang dapat mengatakannya sebagai penelitian bilangan dan angka. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.

Sejarah matematika

Cakupan pengkajian yang disebut sebagai sejarah matematika adalah terutama berupa penyelidikan terhadap asal muasal temuan baru di dalam matematika, di dalam ruang lingkup yang lebih sempit berupa penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika baku di masa silam.

Sebelum zaman modern dan pengetahuan yang tersebar global, contoh-contoh tertulis dari pembangunan matematika yang baru telah mencapai kemilaunya hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka tahun 1850 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir yang berangka tahun 1650 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800 SM).

Semua tulisan yang bersangkutan memusatkan perhatian kepada apa yang biasa dikenal sebagai Teorema Pythagoras, yang kelihatannya sebagai hasil pembangunan matematika yang paling kuno dan tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.

Apakah matematika?

Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

Silakan baca kutipan-kutipan lama atau kuno di:

• Is Mathematics Beautiful?
• Do We Need Mathematics?

Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan

Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

Apakah matematika ilmu yang ’sulit’?

Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.

Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.

Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.